Tuesday, November 15, 2011

Magic Square

Tentunya, sebagian besar dari pembaca sudah mengenal istilah magic square.
Magic Square (persegi ajaib) adalah suatu persegi dengan ukuran n x n petak di mana setiap baris, kolom dan diagonal memiliki jumlah yang sama.



Ingin mengenal lebih jauh tentang magic square. Silakan lihat post di bawah. :)
=================================================================


Sejarah *Sangat Singkat* Magic Square:
Persegi ajaib sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan sudah dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7.

Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut. Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3x3 di mana setaip baris, kolom dan diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai. 

Selanjutnya, magic square terus dipelajari dan dikembangkan di berbagai tempat.
Selengkapnya, silakan baca di http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square.

Beberapa istilah/kasus Magic Square yang menarik untuk diketahui:

Persegi ajaib sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan sudah dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7.

Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut. Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3x3 di mana setaip baris, kolom dan diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai. 

Selanjutnya, magic square terus dipelajari dan dikembangkan di berbagai tempat.
Selengkapnya, silakan baca di http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square.

Beberapa istilah/kasus Magic Square yang menarik untuk diketahui:
Normal Magic Square
adalah persegi yang dibentuk dengan menempatkan angka 1 hingga n2. dan tidak ada bilangan yang sama.
Contoh: magic square 3x3 yang diisi dengan angka 1 hingga 9.
Dalam pembahasan kita, jika dikatakan hanya "magic square", maka artinya kita membicarakan "normal magic square".
Semi Magic SquareSemi Magic Square hanya mengharuskan angka pada baris dan kolom berjumlah sama, namun diagonal tidak perlu sama.
Trivia Magic SquareJika magic square berbentuk 1x1 atau semua angka pada petak diisi dengan angka yang sama semuanya, maka magic square itu adalah trivial.
Associative Magic Square
adalah normal magic square di mana petak di tengahnya adalah median dari bilangan-bilangan yang diisi.

Misalnya, untuk persegi 5x5 bagian tengahnya diisi dengan 13, maka disebut associative magic square.
Pan Magic SquareAdalah normal magic square yang lebih ampuh, karena selain semua kolom dan barisnya sama, penjumlahan semua diagonalnya selalu sama. (diagonal ini melewati batas persegi).

Contoh:

Tidak ada pan magic square yang dapat dibentuk dari 3x3.
Concentric Magic Square
Merupakan normal Magic Square nxn dengan n adalah ganjil dan n≥5 dan setiap persegi di dalamnya juga magic square.

Contoh:
Perhatikan bahwa persegi 3x3 di dalamnya juga adalah persegi ajaib dengan jumlah 39.
Multiplicative Magic Square
Jika normal magic square menggunakan operasi penjumlahan, maka multiplicative magic square menggunakan operasi perkalian. Perkalian setiap baris, kolom, dan diagonalnya adalah sama.

Contoh:
____

Fakta-fakta singkat Magic Square:
1.
Suatu magic square 3x3 yang tidak harus normal (artinya angkanya bebas, tidak perlu urut), maka angka di bagian tengahnya selalu 1/3 dari jumlah total. Bisakah kalian membuktikannya?

Sebagai contoh:
Perhatikan bahwa 5 adalah 1/3 dari 15 (jumlah total per baris/kolom/diagonal).
Hint: Misalkan dari 9 kotak, asumsikan ada kotak yang bernilai a, b, dan c
2.Suatu normal magic square
3x3 hanya dapat dibentuk dengan 1 cara (tidak termasuk rotasi, refleksi)
4x4 dalam 880 cara.
5x5 dalam 275305224 cara.
6x6 diperkirakan mencapai 1.7745×1019 cara.


Mengkontruksi Magic Square
Mengkontruksi magic square dapat dilakukan dengan komputer. Ada pula yang dilakukan secara matematis (perhitungan) manual menggunakan konsep modulo.

Di post ini, kita tidak akan menggunakan perhitungan matematis, tapi menggunakan metode-metode yang lebih mudah dipahami dan *klasik*, yaitu Siamese, Conway's LUX, Doubly Even (Lozenge) Method, dan Strachey Method (metode yang paling ribet).

0 comments:

Post a Comment

Popular Posts

 

Designed By Blogs Gone Wild!